Zgjidh {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-4x=5$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4x+5$$

Zëvendëso y me 4x+5 në ekuacionin tjetër, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

Shumëzo -3 herë 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Mblidh -12x me 4x.

$$-8x-15=3$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-8x=18$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Zëvendëso x me -\frac{9}{4} në y=4x+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

Shumëzo 4 herë -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Mblidh 5 me -9.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Për ta bërë y të barabartë me -3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Thjeshto.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Zbrit -3y+4x=3 nga -3y+12x=-15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12x-4x=-15-3$$

Mblidh 12x me -4x.

$$8x=-15-3$$

Mblidh -15 me -3.

$$8x=-18$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Zëvendëso x me -\frac{9}{4} në -3y+4x=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

Shumëzo 4 herë -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=12$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$