Zgjidh {l}{y=3x-5}{y=x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=4$$

$$y=7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-5$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-5$$

Zëvendëso y me 3x-5 në ekuacionin tjetër, y-x=3.

$$3x-5-x=3$$

Mblidh 3x me -x.

$$2x-5=3$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y=3x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3\times 4-5$$

Shumëzo 3 herë 4.

$$y=12-5$$

Mblidh -5 me 12.

$$y=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=7,x=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=7,x=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Zbrit y-x=3 nga y-3x=-5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-3x+x=-5-3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3x+x=-5-3$$

Mblidh -3x me x.

$$-2x=-5-3$$

Mblidh -5 me -3.

$$-2x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y-x=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-4=3$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=7,x=4$$