Zgjidh {l}{y=2-2x}{3x-2y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 - 2 x } \\ { 3 x - 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7} \approx 2.428571429$$

$$y = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=2$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x+2$$

Zëvendëso y me -2x+2 në ekuacionin tjetër, -2y+3x=13.

$$-2\left(-2x+2\right)+3x=13$$

Shumëzo -2 herë -2x+2.

$$4x-4+3x=13$$

Mblidh 4x me 3x.

$$7x-4=13$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=17$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{17}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{17}{7} në y=-2x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\times \frac{17}{7}+2$$

Shumëzo -2 herë \frac{17}{7}.

$$y=-\frac{34}{7}+2$$

Mblidh 2 me -\frac{34}{7}.

$$y=-\frac{20}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 13\\\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Për ta bërë y të barabartë me -2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-2y-2\times 2x=-2\times 2,-2y+3x=13$$

Thjeshto.

$$-2y-4x=-4,-2y+3x=13$$

Zbrit -2y+3x=13 nga -2y-4x=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2y+2y-4x-3x=-4-13$$

Mblidh -2y me 2y. Shprehjet -2y dhe 2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x-3x=-4-13$$

Mblidh -4x me -3x.

$$-7x=-4-13$$

Mblidh -4 me -13.

$$-7x=-17$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=\frac{17}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{17}{7} në -2y+3x=13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2y+3\times \frac{17}{7}=13$$

Shumëzo 3 herë \frac{17}{7}.

$$-2y+\frac{51}{7}=13$$

Zbrit \frac{51}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=\frac{40}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-\frac{20}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$