Zgjidh {l}{y=-x+2}{y=3x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=2$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x+2$$

Zëvendëso y me -x+2 në ekuacionin tjetër, y-3x=-4.

$$-x+2-3x=-4$$

Mblidh -x me -3x.

$$-4x+2=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3}{2} në y=-x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{3}{2}+2$$

Mblidh 2 me -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Zbrit y-3x=-4 nga y+x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x+3x=2+4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+3x=2+4$$

Mblidh x me 3x.

$$4x=2+4$$

Mblidh 2 me 4.

$$4x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3}{2} në y-3x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-3\times \frac{3}{2}=-4$$

Shumëzo -3 herë \frac{3}{2}.

$$y-\frac{9}{2}=-4$$

Mblidh \frac{9}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$