Zgjidh {l}{y=-4x-3}{y=-2x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-2$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+4x=-3$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4x-3$$

Zëvendëso y me -4x-3 në ekuacionin tjetër, y+2x=1.

$$-4x-3+2x=1$$

Mblidh -4x me 2x.

$$-2x-3=1$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y=-4x-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-4\left(-2\right)-3$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$y=8-3$$

Mblidh -3 me 8.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\\\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=5,x=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Zbrit y+2x=1 nga y+4x=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+4x-2x=-3-1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4x-2x=-3-1$$

Mblidh 4x me -2x.

$$2x=-3-1$$

Mblidh -3 me -1.

$$2x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y+2x=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\left(-2\right)=1$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$y-4=1$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=-2$$