Zgjidh {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thjeshto thyesën \frac{4}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Zëvendëso y me -\frac{2x}{3}-5 në ekuacionin tjetër, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Shumëzo 5 herë -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Mblidh -\frac{10x}{3} me 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Mblidh 25 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{14}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Zëvendëso x me -\frac{30}{7} në y=-\frac{2}{3}x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë -\frac{30}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Mblidh -5 me \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thjeshto thyesën \frac{4}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Shto \frac{2}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thjeshto thyesën \frac{4}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Shto \frac{2}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Për ta bërë y të barabartë me 5y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Thjeshto.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Zbrit 5y+8x=-45 nga 5y+\frac{10}{3}x=-25 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Mblidh 5y me -5y. Shprehjet 5y dhe -5y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Mblidh \frac{10x}{3} me -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Mblidh -25 me 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{14}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Zëvendëso x me -\frac{30}{7} në 5y+8x=-45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Shumëzo 8 herë -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Mblidh \frac{240}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$