Zgjidh {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thyesa \frac{-4}{5} mund të rishkruhet si -\frac{4}{5} duke zbritur shenjën negative.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Zëvendëso y me -\frac{4x}{5}-9 në ekuacionin tjetër, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Shumëzo 3 herë -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Mblidh -\frac{12x}{5} me 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Mblidh 27 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{28}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Zëvendëso x me -\frac{45}{14} në y=-\frac{4}{5}x-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Shumëzo -\frac{4}{5} herë -\frac{45}{14} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Mblidh -9 me \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thyesa \frac{-4}{5} mund të rishkruhet si -\frac{4}{5} duke zbritur shenjën negative.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Shto \frac{4}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{8x}{3} në të dyja anët.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3y+8x=-45$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Thyesa \frac{-4}{5} mund të rishkruhet si -\frac{4}{5} duke zbritur shenjën negative.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Shto \frac{4}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{8x}{3} në të dyja anët.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3y+8x=-45$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Për ta bërë y të barabartë me 3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Thjeshto.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Zbrit 3y+8x=-45 nga 3y+\frac{12}{5}x=-27 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Mblidh \frac{12x}{5} me -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Mblidh -27 me 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{28}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Zëvendëso x me -\frac{45}{14} në 3y+8x=-45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Shumëzo 8 herë -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Mblidh \frac{180}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$