Zgjidh {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x_{1} nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Zbrit 2x_{1} nga të dyja anët.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x_{1} duke veçuar x_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Zbrit x_{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Zëvendëso x_{1} me -x_{2}+97 në ekuacionin tjetër, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Shumëzo -2 herë -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Mblidh 2x_{2} me x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Mblidh 194 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x_{2}=194$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Zëvendëso x_{2} me \frac{194}{3} në x_{1}=-x_{2}+97. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Mblidh 97 me -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x_{1} nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Zbrit 2x_{1} nga të dyja anët.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x_{1} dhe x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x_{1} nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Zbrit 2x_{1} nga të dyja anët.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Zbrit -2x_{1}+x_{2}=0 nga x_{1}+x_{2}=97 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Mblidh x_{2} me -x_{2}. Shprehjet x_{2} dhe -x_{2} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Mblidh x_{1} me 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Zëvendëso x_{1} me \frac{97}{3} në -2x_{1}+x_{2}=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{2} menjëherë.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Shumëzo -2 herë \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Mblidh \frac{194}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$