Zgjidh {l}{x-y=60}{2x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 60 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-60$$

$$y=-120$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=60$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+60$$

Zëvendëso x me y+60 në ekuacionin tjetër, 2x-y=0.

$$2\left(y+60\right)-y=0$$

Shumëzo 2 herë y+60.

$$2y+120-y=0$$

Mblidh 2y me -y.

$$y+120=0$$

Zbrit 120 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-120$$

Zëvendëso y me -120 në x=y+60. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-120+60$$

Mblidh 60 me -120.

$$x=-60$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-60,y=-120$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-2\times 60\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-120\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-60,y=-120$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Zbrit 2x-y=0 nga x-y=60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-2x-y+y=60$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x-2x=60$$

Mblidh x me -2x.

$$-x=60$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-60$$

Zëvendëso x me -60 në 2x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2\left(-60\right)-y=0$$

Shumëzo 2 herë -60.

$$-120-y=0$$

Mblidh 120 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=120$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-120$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-60,y=-120$$