Zgjidh {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-y-2x=0$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x-y=0$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=y$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-y$$

Zëvendëso x me -y në ekuacionin tjetër, 2x+y=16.

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

Shumëzo 2 herë -y.

$$-2y+y=16$$

Mblidh -2y me y.

$$-y=16$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-16$$

Zëvendëso y me -16 në x=-y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-16\right)$$

Shumëzo -1 herë -16.

$$x=16$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=16,y=-16$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-y-2x=0$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=16,y=-16$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-y-2x=0$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Për ta bërë -x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

Thjeshto.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

Zbrit -2x-y=-16 nga -2x-2y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y+y=16$$

Mblidh -2y me y.

$$-y=16$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-16$$

Zëvendëso y me -16 në 2x+y=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-16=16$$

Mblidh 16 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=32$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=16$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=16,y=-16$$