Zgjidh {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Shto 1 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-4y=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+3$$

Zëvendëso x me y+3 në ekuacionin tjetër, x-4y=4.

$$y+3-4y=4$$

Mblidh y me -4y.

$$-3y+3=4$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=1$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në x=y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

Mblidh 3 me -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Shto 1 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-4y=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Shto 1 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-4y=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Zbrit x-4y=4 nga x-y=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x-y+4y=3-4$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y+4y=3-4$$

Mblidh -y me 4y.

$$3y=3-4$$

Mblidh 3 me -4.

$$3y=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në x-4y=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

Shumëzo -4 herë -\frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

Zbrit \frac{4}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$