Zgjidh {l}{x-2y+2=2x-3y-9}{2x-5y+4=-x-y+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y + 2 = 2 x - 3 y - 9 } \\ { 2 x - 5 y + 4 = - x - y + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=45$$

$$y=34$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-2y+2-2x=-3y-9$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y+2=-3y-9$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x-2y+2+3y=-9$$

Kombino -2y dhe 3y për të marrë y.

$$-x+y+2=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-x+y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$-x+y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$2x-5y+4+x=-y+3$$

Kombino 2x dhe x për të marrë 3x.

$$3x-5y+4=-y+3$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-5y+4+y=3$$

Kombino -5y dhe y për të marrë -4y.

$$3x-4y+4=3$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$3x-4y=3-4$$

Zbrit 4 nga 3 për të marrë -1.

$$3x-4y=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x+y=-11,3x-4y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x+y=-11$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-y-11$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\left(-y-11\right)$$

Shumëzo -1 herë -y-11.

$$x=y+11$$

Zëvendëso x me y+11 në ekuacionin tjetër, 3x-4y=-1.

$$3\left(y+11\right)-4y=-1$$

Shumëzo 3 herë y+11.

$$3y+33-4y=-1$$

Mblidh 3y me -4y.

$$-y+33=-1$$

Zbrit 33 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-34$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=34$$

Zëvendëso y me 34 në x=y+11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=34+11$$

Mblidh 11 me 34.

$$x=45$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=45,y=34$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-2y+2-2x=-3y-9$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y+2=-3y-9$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x-2y+2+3y=-9$$

Kombino -2y dhe 3y për të marrë y.

$$-x+y+2=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-x+y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$-x+y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$2x-5y+4+x=-y+3$$

Kombino 2x dhe x për të marrë 3x.

$$3x-5y+4=-y+3$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-5y+4+y=3$$

Kombino -5y dhe y për të marrë -4y.

$$3x-4y+4=3$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$3x-4y=3-4$$

Zbrit 4 nga 3 për të marrë -1.

$$3x-4y=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x+y=-11,3x-4y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-4\right)-3}\\-\frac{3}{-\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-4\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\left(-11\right)-\left(-1\right)\\-3\left(-11\right)-\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\34\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=45,y=34$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x-2y+2-2x=-3y-9$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y+2=-3y-9$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x-2y+2+3y=-9$$

Kombino -2y dhe 3y për të marrë y.

$$-x+y+2=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-x+y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$-x+y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$2x-5y+4+x=-y+3$$

Kombino 2x dhe x për të marrë 3x.

$$3x-5y+4=-y+3$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-5y+4+y=3$$

Kombino -5y dhe y për të marrë -4y.

$$3x-4y+4=3$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$3x-4y=3-4$$

Zbrit 4 nga 3 për të marrë -1.

$$3x-4y=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x+y=-11,3x-4y=-1$$

Për ta bërë -x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$3\left(-1\right)x+3y=3\left(-11\right),-3x-\left(-4y\right)=-\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$-3x+3y=-33,-3x+4y=1$$

Zbrit -3x+4y=1 nga -3x+3y=-33 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+3y-4y=-33-1$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y-4y=-33-1$$

Mblidh 3y me -4y.

$$-y=-33-1$$

Mblidh -33 me -1.

$$-y=-34$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=34$$

Zëvendëso y me 34 në 3x-4y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-4\times 34=-1$$

Shumëzo -4 herë 34.

$$3x-136=-1$$

Mblidh 136 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=135$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=45$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=45,y=34$$