Zgjidh {l}{x-2=6y}{y=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 = 6 y } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

$$y=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-2-6y=0$$

Shto 2 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-6y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-6y=2$$

Mblidh 6y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6y+2$$

Zëvendëso x me 6y+2 në ekuacionin tjetër, -2x+y=0.

$$-2\left(6y+2\right)+y=0$$

Shumëzo -2 herë 6y+2.

$$-12y-4+y=0$$

Mblidh -12y me y.

$$-11y-4=0$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-11y=4$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$y=-\frac{4}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{4}{11} në x=6y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=6\left(-\frac{4}{11}\right)+2$$

Shumëzo 6 herë -\frac{4}{11}.

$$x=-\frac{24}{11}+2$$

Mblidh 2 me -\frac{24}{11}.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-2-6y=0$$

Shto 2 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-6y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\\-\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-2-6y=0$$

Shto 2 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-6y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-2x-2\left(-6\right)y=-2\times 2,-2x+y=0$$

Thjeshto.

$$-2x+12y=-4,-2x+y=0$$

Zbrit -2x+y=0 nga -2x+12y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+12y-y=-4$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y-y=-4$$

Mblidh 12y me -y.

$$11y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$y=-\frac{4}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{4}{11} në -2x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x-\frac{4}{11}=0$$

Mblidh \frac{4}{11} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=\frac{4}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$