Zgjidh {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Për të gjetur të kundërtën e y+3, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Kombino 2x dhe -6x për të marrë -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Kombino -y dhe -2y për të marrë -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-4x-3y=2+3$$

Shto 2 dhe 3 për të marrë 5.

$$-4x-3y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$5x+y=4x-2$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$5x+y-4x=-2$$

Kombino 5x dhe -4x për të marrë x.

$$x+y=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-4x-3y=5$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=3y+5$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Zëvendëso x me \frac{-3y-5}{4} në ekuacionin tjetër, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Mblidh -\frac{3y}{4} me y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Mblidh \frac{5}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Shumëzo të dyja anët me 4.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Mblidh -\frac{5}{4} me \frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Për të gjetur të kundërtën e y+3, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Kombino 2x dhe -6x për të marrë -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Kombino -y dhe -2y për të marrë -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-4x-3y=2+3$$

Shto 2 dhe 3 për të marrë 5.

$$-4x-3y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$5x+y=4x-2$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$5x+y-4x=-2$$

Kombino 5x dhe -4x për të marrë x.

$$x+y=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Për të gjetur të kundërtën e y+3, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Kombino 2x dhe -6x për të marrë -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Kombino -y dhe -2y për të marrë -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-4x-3y=2+3$$

Shto 2 dhe 3 për të marrë 5.

$$-4x-3y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$5x+y=4x-2$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$5x+y-4x=-2$$

Kombino 5x dhe -4x për të marrë x.

$$x+y=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Për ta bërë -4x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Thjeshto.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Zbrit -4x-4y=8 nga -4x-3y=5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y+4y=5-8$$

Mblidh -3y me 4y.

$$y=5-8$$

Mblidh 5 me -8.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-3=-2$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-3$$