Zgjidh {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Për të gjetur të kundërtën e y-y^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Merr parasysh \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Zhvillo \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Zbrit y^{2} nga të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Kombino y^{2} dhe -y^{2} për të marrë 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Kombino -2x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 0.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shumëzo 16 me 16 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto -1 dhe 256 për të marrë 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto 255 dhe 1 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 32y+48 me 3-2y dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Shto 64y^{2} në të dyja anët.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Kombino -64y^{2} dhe 64y^{2} për të marrë 0.

$$32x+16y+256=144$$

Zbrit 256 nga të dyja anët.

$$32x+16y=144-256$$

Zbrit 256 nga 144 për të marrë -112.

$$32x+16y=-112$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+3$$

Zëvendëso x me y+3 në ekuacionin tjetër, 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

Shumëzo 32 herë y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

Mblidh 32y me 16y.

$$48y+96=-112$$

Zbrit 96 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$48y=-208$$

Pjesëto të dyja anët me 48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{13}{3} në x=y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Mblidh 3 me -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Për të gjetur të kundërtën e y-y^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Merr parasysh \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Zhvillo \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Zbrit y^{2} nga të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Kombino y^{2} dhe -y^{2} për të marrë 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Kombino -2x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 0.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shumëzo 16 me 16 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto -1 dhe 256 për të marrë 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto 255 dhe 1 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 32y+48 me 3-2y dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Shto 64y^{2} në të dyja anët.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Kombino -64y^{2} dhe 64y^{2} për të marrë 0.

$$32x+16y+256=144$$

Zbrit 256 nga të dyja anët.

$$32x+16y=144-256$$

Zbrit 256 nga 144 për të marrë -112.

$$32x+16y=-112$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Për të gjetur të kundërtën e y-y^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Merr parasysh \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Zhvillo \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Zbrit y^{2} nga të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Kombino y^{2} dhe -y^{2} për të marrë 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Kombino -2x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 0.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shumëzo 16 me 16 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto -1 dhe 256 për të marrë 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Shto 255 dhe 1 për të marrë 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 32y+48 me 3-2y dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Shto 64y^{2} në të dyja anët.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Kombino -64y^{2} dhe 64y^{2} për të marrë 0.

$$32x+16y+256=144$$

Zbrit 256 nga të dyja anët.

$$32x+16y=144-256$$

Zbrit 256 nga 144 për të marrë -112.

$$32x+16y=-112$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Për ta bërë x të barabartë me 32x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 32 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Thjeshto.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Zbrit 32x+16y=-112 nga 32x-32y=96 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Mblidh 32x me -32x. Shprehjet 32x dhe -32x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-32y-16y=96+112$$

Mblidh -32y me -16y.

$$-48y=96+112$$

Mblidh 96 me 112.

$$-48y=208$$

Pjesëto të dyja anët me -48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{13}{3} në 32x+16y=-112. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

Shumëzo 16 herë -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Mblidh \frac{208}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 32.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$