Zgjidh {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Gjej x në x+y=a duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=a$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+a$$

Zëvendëso x me -y+a në ekuacionin tjetër, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Ngri në fuqi të dytë -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Mblidh y^{2} me y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1\left(-1\right)^{2}, b me 1\left(-1\right)\times 2a dhe c me -9+a^{2} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Mblidh 4a^{2} me 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} kur ± është plus. Mblidh 2a me 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Pjesëto 2a+2\sqrt{18-a^{2}} me 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{18-a^{2}} nga 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Pjesëto 2a-2\sqrt{18-a^{2}} me 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dhe \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Zëvendëso y me \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} në ekuacionin x=-y+a për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Tani zëvendëso y me \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} në ekuacionin x=-y+a dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Gjej x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

Gjej x në x+y=a duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=a$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+a$$

Zëvendëso x me -y+a në ekuacionin tjetër, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Ngri në fuqi të dytë -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Mblidh y^{2} me y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1\left(-1\right)^{2}, b me 1\left(-1\right)\times 2a dhe c me -9+a^{2} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Mblidh 4a^{2} me 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} kur ± është plus. Mblidh 2a me 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Pjesëto 2a+2\sqrt{18-a^{2}} me 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{18-a^{2}} nga 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Pjesëto 2a-2\sqrt{18-a^{2}} me 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dhe \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Zëvendëso y me \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} në ekuacionin x=-y+a për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Tani zëvendëso y me \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} në ekuacionin x=-y+a dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$