Zgjidh {l}{x^2+y^2=4}{4x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0\text{, }y=2$$

$$x=\frac{16}{17}\approx 0.941176471\text{, }y=-\frac{30}{17}\approx -1.764705882$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+y=2,y^{2}+x^{2}=4$$

Gjej x në 4x+y=2 duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+y=2$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-y+2$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{1}{4}y+\frac{1}{2} në ekuacionin tjetër, y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}.

$$y^{2}+\frac{1}{16}y^{2}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}=4$$

Mblidh y^{2} me \frac{1}{16}y^{2}.

$$\frac{17}{16}y^{2}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{17}{16}y^{2}-\frac{1}{4}y-\frac{15}{4}=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}, b me 1\times \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)\times 2 dhe c me -\frac{15}{4} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}-4\times \frac{17}{16}\left(-\frac{15}{4}\right)}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\times \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±\sqrt{\frac{1}{16}-4\times \frac{17}{16}\left(-\frac{15}{4}\right)}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Shumëzo -4 herë 1+1\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±\sqrt{\frac{1}{16}-\frac{17}{4}\left(-\frac{15}{4}\right)}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Shumëzo -\frac{17}{4} herë -\frac{15}{4} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±\sqrt{\frac{1+255}{16}}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Mblidh \frac{1}{16} me \frac{255}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±\sqrt{16}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Gjej rrënjën katrore të 16.

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{4}\right)±4}{2\times \frac{17}{16}}$$

E kundërta e 1\times \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)\times 2 është \frac{1}{4}.

$$y=\frac{\frac{1}{4}±4}{2\times \frac{17}{16}}$$

Shumëzo 2 herë 1+1\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{1}{4}±4}{\frac{17}{8}}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{1}{4}±4}{\frac{17}{8}} kur ± është plus. Mblidh \frac{1}{4} me 4.

$$y=\frac{\frac{17}{4}}{\frac{17}{8}}$$

Pjesëto \frac{17}{4} me \frac{17}{8} duke shumëzuar \frac{17}{4} me të anasjelltën e \frac{17}{8}.

$$y=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{1}{4}±4}{\frac{17}{8}} kur ± është minus. Zbrit 4 nga \frac{1}{4}.

$$y=-\frac{\frac{15}{4}}{\frac{17}{8}}$$

Pjesëto -\frac{15}{4} me \frac{17}{8} duke shumëzuar -\frac{15}{4} me të anasjelltën e \frac{17}{8}.

$$y=-\frac{30}{17}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: 2 dhe -\frac{30}{17}. Zëvendëso y me 2 në ekuacionin x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2} për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë 2.

$$x=\frac{-1+1}{2}$$

Mblidh -\frac{1}{4}\times 2 me \frac{1}{2}.

$$x=0$$

Tani zëvendëso y me -\frac{30}{17} në ekuacionin x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2} dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{30}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë -\frac{30}{17} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{15}{34}+\frac{1}{2}$$

Mblidh -\frac{30}{17}\left(-\frac{1}{4}\right) me \frac{1}{2}.

$$x=\frac{16}{17}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=2\text{ or }x=\frac{16}{17},y=-\frac{30}{17}$$