Zgjidh {l}{x=3y-2}{x-2=2*(y+3)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y - 2 } \\ { x - 2 = 2 \cdot ( y + 3 ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=28$$

$$y=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$x-2=2y+6$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2-2y=6$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-2y=6+2$$

Shto 6 dhe 2 për të marrë 8.

$$x-2y=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=-2,x-2y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=-2$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y-2$$

Zëvendëso x me 3y-2 në ekuacionin tjetër, x-2y=8.

$$3y-2-2y=8$$

Mblidh 3y me -2y.

$$y-2=8$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në x=3y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\times 10-2$$

Shumëzo 3 herë 10.

$$x=30-2$$

Mblidh -2 me 30.

$$x=28$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=28,y=10$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$x-2=2y+6$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2-2y=6$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-2y=6+2$$

Shto 6 dhe 2 për të marrë 8.

$$x-2y=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=-2,x-2y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 8\\-\left(-2\right)+8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\10\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=28,y=10$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$x-2=2y+6$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2-2y=6$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-2y=6+2$$

Shto 6 dhe 2 për të marrë 8.

$$x-2y=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=-2,x-2y=8$$

Zbrit x-2y=8 nga x-3y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x-3y+2y=-2-8$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y+2y=-2-8$$

Mblidh -3y me 2y.

$$-y=-2-8$$

Mblidh -2 me -8.

$$-y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në x-2y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2\times 10=8$$

Shumëzo -2 herë 10.

$$x-20=8$$

Mblidh 20 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=28$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=28,y=10$$