Zgjidh {l}{x=3y}{2y-3x=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y } \\ { 2 y - 3 x = 28 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-12$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=0$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y$$

Zëvendëso x me 3y në ekuacionin tjetër, -3x+2y=28.

$$-3\times 3y+2y=28$$

Shumëzo -3 herë 3y.

$$-9y+2y=28$$

Mblidh -9y me 2y.

$$-7y=28$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=3y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\left(-4\right)$$

Shumëzo 3 herë -4.

$$x=-12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-12,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 28\\-\frac{1}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-12,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Për ta bërë x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3x-3\left(-3\right)y=0,-3x+2y=28$$

Thjeshto.

$$-3x+9y=0,-3x+2y=28$$

Zbrit -3x+2y=28 nga -3x+9y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+9y-2y=-28$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$9y-2y=-28$$

Mblidh 9y me -2y.

$$7y=-28$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në -3x+2y=28. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+2\left(-4\right)=28$$

Shumëzo 2 herë -4.

$$-3x-8=28$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=36$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=-12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-12,y=-4$$