Zgjidh {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=0$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y$$

Zëvendëso x me 2y në ekuacionin tjetër, -3x+y=-10.

$$-3\times 2y+y=-10$$

Shumëzo -3 herë 2y.

$$-6y+y=-10$$

Mblidh -6y me y.

$$-5y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=2y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\times 2$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Për ta bërë x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

Thjeshto.

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

Zbrit -3x+y=-10 nga -3x+6y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+6y-y=10$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y-y=10$$

Mblidh 6y me -y.

$$5y=10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në -3x+y=-10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+2=-10$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-12$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$