Zgjidh {l}{x=2y+3}{y=6x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y + 3 } \\ { y = 6 x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

$$y = -\frac{16}{11} = -1\frac{5}{11} \approx -1.454545455$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=3,-6x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=3$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y+3$$

Zëvendëso x me 2y+3 në ekuacionin tjetër, -6x+y=-2.

$$-6\left(2y+3\right)+y=-2$$

Shumëzo -6 herë 2y+3.

$$-12y-18+y=-2$$

Mblidh -12y me y.

$$-11y-18=-2$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-11y=16$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$y=-\frac{16}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{16}{11} në x=2y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\left(-\frac{16}{11}\right)+3$$

Shumëzo 2 herë -\frac{16}{11}.

$$x=-\frac{32}{11}+3$$

Mblidh 3 me -\frac{32}{11}.

$$x=\frac{1}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{11},y=-\frac{16}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=3,-6x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-6\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{1-\left(-2\left(-6\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{6}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\left(-2\right)\\-\frac{6}{11}\times 3-\frac{1}{11}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\\-\frac{16}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{11},y=-\frac{16}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=3,-6x+y=-2$$

Për ta bërë x të barabartë me -6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-6x-6\left(-2\right)y=-6\times 3,-6x+y=-2$$

Thjeshto.

$$-6x+12y=-18,-6x+y=-2$$

Zbrit -6x+y=-2 nga -6x+12y=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-6x+6x+12y-y=-18+2$$

Mblidh -6x me 6x. Shprehjet -6x dhe 6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y-y=-18+2$$

Mblidh 12y me -y.

$$11y=-18+2$$

Mblidh -18 me 2.

$$11y=-16$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$y=-\frac{16}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{16}{11} në -6x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-6x-\frac{16}{11}=-2$$

Mblidh \frac{16}{11} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-6x=-\frac{6}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=\frac{1}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{11},y=-\frac{16}{11}$$