Zgjidh {l}{x=1.5y}{60x=100+60y+20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 1.5 y } \\ { 60 x = 100 + 60 y + 20 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=6$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 1.5y nga të dyja anët.

$$x-1.5y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 100 dhe 20 për të marrë 120.

$$60x=120+60y$$

Zbrit 60y nga të dyja anët.

$$60x-60y=120$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-1.5y=0,60x-60y=120$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-1.5y=0$$

Mblidh \frac{3y}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1.5y$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2} në ekuacionin tjetër, 60x-60y=120.

$$60\times 1.5y-60y=120$$

Shumëzo 60 herë \frac{3y}{2}.

$$90y-60y=120$$

Mblidh 90y me -60y.

$$30y=120$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=1.5y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=1.5\times 4$$

Shumëzo 1.5 herë 4.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 1.5y nga të dyja anët.

$$x-1.5y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 100 dhe 20 për të marrë 120.

$$60x=120+60y$$

Zbrit 60y nga të dyja anët.

$$60x-60y=120$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-1.5y=0,60x-60y=120$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1.5\\60&-60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{60}{-60-\left(-1.5\times 60\right)}&-\frac{-1.5}{-60-\left(-1.5\times 60\right)}\\-\frac{60}{-60-\left(-1.5\times 60\right)}&\frac{1}{-60-\left(-1.5\times 60\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 120\\\frac{1}{30}\times 120\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=6,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 1.5y nga të dyja anët.

$$x-1.5y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 100 dhe 20 për të marrë 120.

$$60x=120+60y$$

Zbrit 60y nga të dyja anët.

$$60x-60y=120$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-1.5y=0,60x-60y=120$$

Për ta bërë x të barabartë me 60x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 60 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$60x+60\left(-1.5\right)y=0,60x-60y=120$$

Thjeshto.

$$60x-90y=0,60x-60y=120$$

Zbrit 60x-60y=120 nga 60x-90y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$60x-60x-90y+60y=-120$$

Mblidh 60x me -60x. Shprehjet 60x dhe -60x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-90y+60y=-120$$

Mblidh -90y me 60y.

$$-30y=-120$$

Pjesëto të dyja anët me -30.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në 60x-60y=120. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$60x-60\times 4=120$$

Shumëzo -60 herë 4.

$$60x-240=120$$

Mblidh 240 në të dyja anët e ekuacionit.

$$60x=360$$

Pjesëto të dyja anët me 60.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=4$$