Zgjidh {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{4}y në të dyja anët.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Zbrit \frac{y}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{4}+5 në ekuacionin tjetër, 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Shumëzo 3 herë -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Mblidh -\frac{3y}{4} me 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në x=-\frac{1}{4}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë -12.

$$x=3+5$$

Mblidh 5 me 3.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=-12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{4}y në të dyja anët.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=8,y=-12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{4}y në të dyja anët.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Thjeshto.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Zbrit 3x+2y=0 nga 3x+\frac{3}{4}y=15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Mblidh \frac{3y}{4} me -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{5}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në 3x+2y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Shumëzo 2 herë -12.

$$3x-24=0$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=-12$$