Zgjidh {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{3}{4}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{8}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Mblidh \frac{3y}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{4} në ekuacionin tjetër, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Shumëzo -\frac{8}{9} herë \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Mblidh -\frac{2y}{3} me y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në x=\frac{3}{4}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Shumëzo \frac{3}{4} herë -12.

$$x=-9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-9,y=-12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{3}{4}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{8}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-9,y=-12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{3}{4}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{8}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Për ta bërë x të barabartë me -\frac{8x}{9}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -\frac{8}{9} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Thjeshto.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Zbrit -\frac{8}{9}x+y=-4 nga -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Mblidh -\frac{8x}{9} me \frac{8x}{9}. Shprehjet -\frac{8x}{9} dhe \frac{8x}{9} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Mblidh \frac{2y}{3} me -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Shumëzo të dyja anët me -3.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në -\frac{8}{9}x+y=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{8}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-9,y=-12$$