Zgjidh {l}{x+y=51x+6}{x-2y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 51 x + 6 } \\ { x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{5}{99}\approx 0.050505051$$

$$y = \frac{844}{99} = 8\frac{52}{99} \approx 8.525252525$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 51x nga të dyja anët.

$$x+y-51x=6$$

Kombino x dhe -51x për të marrë -50x.

$$-50x+y=6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-50x+y=6$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-50x=-y+6$$

Pjesëto të dyja anët me -50.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-y+6\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{50} herë -y+6.

$$x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}$$

Zëvendëso x me -\frac{3}{25}+\frac{y}{50} në ekuacionin tjetër, x-2y=-17.

$$\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}-2y=-17$$

Mblidh \frac{y}{50} me -2y.

$$-\frac{99}{50}y-\frac{3}{25}=-17$$

Mblidh \frac{3}{25} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{99}{50}y=-\frac{422}{25}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{99}{50}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{844}{99}$$

Zëvendëso y me \frac{844}{99} në x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{844}{99}-\frac{3}{25}$$

Shumëzo \frac{1}{50} herë \frac{844}{99} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{422}{2475}-\frac{3}{25}$$

Mblidh -\frac{3}{25} me \frac{422}{2475} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{5}{99}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 51x nga të dyja anët.

$$x+y-51x=6$$

Kombino x dhe -51x për të marrë -50x.

$$-50x+y=6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{50}{-50\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}&-\frac{1}{99}\\-\frac{1}{99}&-\frac{50}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}\times 6-\frac{1}{99}\left(-17\right)\\-\frac{1}{99}\times 6-\frac{50}{99}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\\\frac{844}{99}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 51x nga të dyja anët.

$$x+y-51x=6$$

Kombino x dhe -51x për të marrë -50x.

$$-50x+y=6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

Për ta bërë -50x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -50.

$$-50x+y=6,-50x-50\left(-2\right)y=-50\left(-17\right)$$

Thjeshto.

$$-50x+y=6,-50x+100y=850$$

Zbrit -50x+100y=850 nga -50x+y=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-50x+50x+y-100y=6-850$$

Mblidh -50x me 50x. Shprehjet -50x dhe 50x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-100y=6-850$$

Mblidh y me -100y.

$$-99y=6-850$$

Mblidh 6 me -850.

$$-99y=-844$$

Pjesëto të dyja anët me -99.

$$y=\frac{844}{99}$$

Zëvendëso y me \frac{844}{99} në x-2y=-17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2\times \frac{844}{99}=-17$$

Shumëzo -2 herë \frac{844}{99}.

$$x-\frac{1688}{99}=-17$$

Mblidh \frac{1688}{99} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{5}{99}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$