Zgjidh {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=45$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+45$$

Zëvendëso x me -y+45 në ekuacionin tjetër, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

Shumëzo 18 herë -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Mblidh -18y me 120y.

$$102y+810=6000$$

Zbrit 810 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$102y=5190$$

Pjesëto të dyja anët me 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Zëvendëso y me \frac{865}{17} në x=-y+45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Mblidh 45 me -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Për ta bërë x të barabartë me 18x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 18 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Thjeshto.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Zbrit 18x+120y=6000 nga 18x+18y=810 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Mblidh 18x me -18x. Shprehjet 18x dhe -18x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18y-120y=810-6000$$

Mblidh 18y me -120y.

$$-102y=810-6000$$

Mblidh 810 me -6000.

$$-102y=-5190$$

Pjesëto të dyja anët me -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Zëvendëso y me \frac{865}{17} në 18x+120y=6000. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

Shumëzo 120 herë \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Zbrit \frac{103800}{17} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$