Zgjidh {l}{x+y=40}{y+2=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { y + 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=14$$

$$y=26$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y+2-2x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-2x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=40$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+40$$

Zëvendëso x me -y+40 në ekuacionin tjetër, -2x+y=-2.

$$-2\left(-y+40\right)+y=-2$$

Shumëzo -2 herë -y+40.

$$2y-80+y=-2$$

Mblidh 2y me y.

$$3y-80=-2$$

Mblidh 80 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=78$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=26$$

Zëvendëso y me 26 në x=-y+40. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-26+40$$

Mblidh 40 me -26.

$$x=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=26$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y+2-2x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-2x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 40-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\times 40+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\26\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=14,y=26$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y+2-2x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-2x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Zbrit -2x+y=-2 nga x+y=40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+2x+y-y=40+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+2x=40+2$$

Mblidh x me 2x.

$$3x=40+2$$

Mblidh 40 me 2.

$$3x=42$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=14$$

Zëvendëso x me 14 në -2x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2\times 14+y=-2$$

Shumëzo -2 herë 14.

$$-28+y=-2$$

Mblidh 28 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=26$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=26$$