Zgjidh {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=35$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{7}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=40$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+40$$

Zëvendëso x me -y+40 në ekuacionin tjetër, x-\frac{1}{7}y=0.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

Mblidh -y me -\frac{y}{7}.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

Zbrit 40 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{8}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në x=-y+40. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-35+40$$

Mblidh 40 me -35.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=35$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{7}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=35$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{7}y nga të dyja anët.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Zbrit x-\frac{1}{7}y=0 nga x+y=40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

Mblidh y me \frac{y}{7}.

$$\frac{8}{7}y=40$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{8}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në x-\frac{1}{7}y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

Shumëzo -\frac{1}{7} herë 35.

$$x-5=0$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=35$$