Zgjidh {l}{x+y=4}{10y+x=(10x+y)-27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) - 27 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y-27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y-27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=-27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=-27$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=4$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+4$$

Zëvendëso x me -y+4 në ekuacionin tjetër, -9x+9y=-27.

$$-9\left(-y+4\right)+9y=-27$$

Shumëzo -9 herë -y+4.

$$9y-36+9y=-27$$

Mblidh 9y me 9y.

$$18y-36=-27$$

Mblidh 36 në të dyja anët e ekuacionit.

$$18y=9$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$y=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{2} në x=-y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}+4$$

Mblidh 4 me -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y-27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y-27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=-27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=-27$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-\left(-9\right)}&-\frac{1}{9-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{9-\left(-9\right)}&\frac{1}{9-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{18}\left(-27\right)\\\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{18}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y-27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y-27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=-27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=-27$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

Për ta bërë x të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-9x-9y=-9\times 4,-9x+9y=-27$$

Thjeshto.

$$-9x-9y=-36,-9x+9y=-27$$

Zbrit -9x+9y=-27 nga -9x-9y=-36 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-9x+9x-9y-9y=-36+27$$

Mblidh -9x me 9x. Shprehjet -9x dhe 9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-9y=-36+27$$

Mblidh -9y me -9y.

$$-18y=-36+27$$

Mblidh -36 me 27.

$$-18y=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{2} në -9x+9y=-27. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+9\times \frac{1}{2}=-27$$

Shumëzo 9 herë \frac{1}{2}.

$$-9x+\frac{9}{2}=-27$$

Zbrit \frac{9}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=-\frac{63}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$