Zgjidh {l}{x+y=2400}{2x=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2400 } \\ { 2 x = 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1440$$

$$y=960$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-3y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=2400,2x-3y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=2400$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+2400$$

Zëvendëso x me -y+2400 në ekuacionin tjetër, 2x-3y=0.

$$2\left(-y+2400\right)-3y=0$$

Shumëzo 2 herë -y+2400.

$$-2y+4800-3y=0$$

Mblidh -2y me -3y.

$$-5y+4800=0$$

Zbrit 4800 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5y=-4800$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=960$$

Zëvendëso y me 960 në x=-y+2400. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-960+2400$$

Mblidh 2400 me -960.

$$x=1440$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1440,y=960$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-3y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=2400,2x-3y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2400\\\frac{2}{5}\times 2400\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1440\\960\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1440,y=960$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-3y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=2400,2x-3y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2y=2\times 2400,2x-3y=0$$

Thjeshto.

$$2x+2y=4800,2x-3y=0$$

Zbrit 2x-3y=0 nga 2x+2y=4800 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x+2y+3y=4800$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y+3y=4800$$

Mblidh 2y me 3y.

$$5y=4800$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=960$$

Zëvendëso y me 960 në 2x-3y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-3\times 960=0$$

Shumëzo -3 herë 960.

$$2x-2880=0$$

Mblidh 2880 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=2880$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=1440$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1440,y=960$$