Zgjidh {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 38y nga të dyja anët.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=220$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+220$$

Zëvendëso x me -y+220 në ekuacionin tjetër, \frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

Shumëzo \frac{3}{5} herë -y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

Mblidh -\frac{3y}{5} me -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

Zbrit 132 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{193}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{685}{193}$$

Zëvendëso y me \frac{685}{193} në x=-y+220. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

Mblidh 220 me -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 38y nga të dyja anët.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 38y nga të dyja anët.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Për ta bërë x të barabartë me \frac{3x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{3}{5} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Thjeshto.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Zbrit \frac{3}{5}x-38y=-5 nga \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Mblidh \frac{3x}{5} me -\frac{3x}{5}. Shprehjet \frac{3x}{5} dhe -\frac{3x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Mblidh \frac{3y}{5} me 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

Mblidh 132 me 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{193}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{685}{193}$$

Zëvendëso y me \frac{685}{193} në \frac{3}{5}x-38y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

Shumëzo -38 herë \frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

Mblidh \frac{26030}{193} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{3}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$