Zgjidh {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{8}y nga të dyja anët.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=220$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+220$$

Zëvendëso x me -y+220 në ekuacionin tjetër, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Shumëzo \frac{2}{5} herë -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Mblidh -\frac{2y}{5} me -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Zbrit 88 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{31}{40}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=120$$

Zëvendëso y me 120 në x=-y+220. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-120+220$$

Mblidh 220 me -120.

$$x=100$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=100,y=120$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{8}y nga të dyja anët.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=100,y=120$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{8}y nga të dyja anët.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Për ta bërë x të barabartë me \frac{2x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{2}{5} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Thjeshto.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Zbrit \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 nga \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Mblidh \frac{2x}{5} me -\frac{2x}{5}. Shprehjet \frac{2x}{5} dhe -\frac{2x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Mblidh \frac{2y}{5} me \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Mblidh 88 me 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{31}{40}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=120$$

Zëvendëso y me 120 në \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Shumëzo -\frac{3}{8} herë 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Mblidh 45 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=100$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=100,y=120$$