Zgjidh {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{4}x nga të dyja anët.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=204$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+204$$

Zëvendëso x me -y+204 në ekuacionin tjetër, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Mblidh \frac{3y}{4} me \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Mblidh 153 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{17}{12}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=108$$

Zëvendëso y me 108 në x=-y+204. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-108+204$$

Mblidh 204 me -108.

$$x=96$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=96,y=108$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{4}x nga të dyja anët.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=96,y=108$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{4}x nga të dyja anët.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me -\frac{3x}{4}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -\frac{3}{4} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Thjeshto.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Zbrit -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 nga -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Mblidh -\frac{3x}{4} me \frac{3x}{4}. Shprehjet -\frac{3x}{4} dhe \frac{3x}{4} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Mblidh -\frac{3y}{4} me -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{17}{12}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=108$$

Zëvendëso y me 108 në -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Zbrit 72 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=96$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=96,y=108$$