Zgjidh {l}{x+y=200}{x/9+y/49/200=8/100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { \frac { \frac { x } { 9 } + \frac { y } { 49 } } { 200 } = \frac { 8 } { 100 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{657}{5} = 131\frac{2}{5} = 131.4$$

$$y = \frac{343}{5} = 68\frac{3}{5} = 68.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 200, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Për të shtuar ose për të zbritur shprehjet, zgjeroji për t'i bërë të njëjtë emëruesit e tyre. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 9 dhe 49 është 441. Shumëzo \frac{x}{9} herë \frac{49}{49}. Shumëzo \frac{y}{49} herë \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Meqenëse \frac{49x}{441} dhe \frac{9y}{441} kanë të njëjtin emërues, mblidhi duke mbledhur numëruesit e tyre.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

Shumëzo 2 me 8 për të marrë 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Pjesëto çdo kufizë të 49x+9y me 441 për të marrë \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=200$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+200$$

Zëvendëso x me -y+200 në ekuacionin tjetër, \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16.

$$\frac{1}{9}\left(-y+200\right)+\frac{1}{49}y=16$$

Shumëzo \frac{1}{9} herë -y+200.

$$-\frac{1}{9}y+\frac{200}{9}+\frac{1}{49}y=16$$

Mblidh -\frac{y}{9} me \frac{y}{49}.

$$-\frac{40}{441}y+\frac{200}{9}=16$$

Zbrit \frac{200}{9} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{40}{441}y=-\frac{56}{9}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{40}{441}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{343}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{343}{5} në x=-y+200. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{343}{5}+200$$

Mblidh 200 me -\frac{343}{5}.

$$x=\frac{657}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 200, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Për të shtuar ose për të zbritur shprehjet, zgjeroji për t'i bërë të njëjtë emëruesit e tyre. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 9 dhe 49 është 441. Shumëzo \frac{x}{9} herë \frac{49}{49}. Shumëzo \frac{y}{49} herë \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Meqenëse \frac{49x}{441} dhe \frac{9y}{441} kanë të njëjtin emërues, mblidhi duke mbledhur numëruesit e tyre.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

Shumëzo 2 me 8 për të marrë 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Pjesëto çdo kufizë të 49x+9y me 441 për të marrë \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{49}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&-\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\\-\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}&\frac{441}{40}\\\frac{49}{40}&-\frac{441}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}\times 200+\frac{441}{40}\times 16\\\frac{49}{40}\times 200-\frac{441}{40}\times 16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{657}{5}\\\frac{343}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 200, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Për të shtuar ose për të zbritur shprehjet, zgjeroji për t'i bërë të njëjtë emëruesit e tyre. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 9 dhe 49 është 441. Shumëzo \frac{x}{9} herë \frac{49}{49}. Shumëzo \frac{y}{49} herë \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Meqenëse \frac{49x}{441} dhe \frac{9y}{441} kanë të njëjtin emërues, mblidhi duke mbledhur numëruesit e tyre.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

Shumëzo 2 me 8 për të marrë 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Pjesëto çdo kufizë të 49x+9y me 441 për të marrë \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Për ta bërë x të barabartë me \frac{x}{9}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{1}{9} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}\times 200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Thjeshto.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9},\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Zbrit \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16 nga \frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

Mblidh \frac{x}{9} me -\frac{x}{9}. Shprehjet \frac{x}{9} dhe -\frac{x}{9} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

Mblidh \frac{y}{9} me -\frac{y}{49}.

$$\frac{40}{441}y=\frac{200}{9}-16$$

Mblidh \frac{200}{9} me -16.

$$\frac{40}{441}y=\frac{56}{9}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{40}{441}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{343}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{343}{5} në \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}\times \frac{343}{5}=16$$

Shumëzo \frac{1}{49} herë \frac{343}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$\frac{1}{9}x+\frac{7}{5}=16$$

Zbrit \frac{7}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{9}x=\frac{73}{5}$$

Shumëzo të dyja anët me 9.

$$x=\frac{657}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$