Zgjidh {l}{x+y=16}{x^2+y^2=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 16 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 64 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$x=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i\text{, }y=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i\text{, }y=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Gjej x në x+y=16 duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=16$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+16$$

Zëvendëso x me -y+16 në ekuacionin tjetër, y^{2}+x^{2}=64.

$$y^{2}+\left(-y+16\right)^{2}=64$$

Ngri në fuqi të dytë -y+16.

$$y^{2}+y^{2}-32y+256=64$$

Mblidh y^{2} me y^{2}.

$$2y^{2}-32y+256=64$$

Zbrit 64 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y^{2}-32y+192=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1\left(-1\right)^{2}, b me 1\times 16\left(-1\right)\times 2 dhe c me 192 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\times 16\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 192}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë 192.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1536}}{2\times 2}$$

Mblidh 1024 me -1536.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-512}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të -512.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

E kundërta e 1\times 16\left(-1\right)\times 2 është 32.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} kur ± është plus. Mblidh 32 me 16i\sqrt{2}.

$$y=\frac{32+2^{\frac{9}{2}}i}{4}$$

Pjesëto 32+i\times 2^{\frac{9}{2}} me 4.

$$y=8+2^{\frac{5}{2}}i$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} kur ± është minus. Zbrit 16i\sqrt{2} nga 32.

$$y=\frac{-2^{\frac{9}{2}}i+32}{4}$$

Pjesëto 32-i\times 2^{\frac{9}{2}} me 4.

$$y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} dhe 8-i\times 2^{\frac{5}{2}}. Zëvendëso y me 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} në ekuacionin x=-y+16 për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16$$

Tani zëvendëso y me 8-i\times 2^{\frac{5}{2}} në ekuacionin x=-y+16 dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16,y=8+2^{\frac{5}{2}}i\text{ or }x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16,y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$