Zgjidh {l}{x+y=150}{16x=43y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 150 } \\ { 16 x = \frac { 43 y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=86$$

$$y=64$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$32x=43y$$

Zbrit 43y nga të dyja anët.

$$32x-43y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=150$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+150$$

Zëvendëso x me -y+150 në ekuacionin tjetër, 32x-43y=0.

$$32\left(-y+150\right)-43y=0$$

Shumëzo 32 herë -y+150.

$$-32y+4800-43y=0$$

Mblidh -32y me -43y.

$$-75y+4800=0$$

Zbrit 4800 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-75y=-4800$$

Pjesëto të dyja anët me -75.

$$y=64$$

Zëvendëso y me 64 në x=-y+150. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-64+150$$

Mblidh 150 me -64.

$$x=86$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=86,y=64$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$32x=43y$$

Zbrit 43y nga të dyja anët.

$$32x-43y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{43}{-43-32}&-\frac{1}{-43-32}\\-\frac{32}{-43-32}&\frac{1}{-43-32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{75}&\frac{1}{75}\\\frac{32}{75}&-\frac{1}{75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{75}\times 150\\\frac{32}{75}\times 150\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\64\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=86,y=64$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$32x=43y$$

Zbrit 43y nga të dyja anët.

$$32x-43y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 32x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 32 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$32x+32y=32\times 150,32x-43y=0$$

Thjeshto.

$$32x+32y=4800,32x-43y=0$$

Zbrit 32x-43y=0 nga 32x+32y=4800 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$32x-32x+32y+43y=4800$$

Mblidh 32x me -32x. Shprehjet 32x dhe -32x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$32y+43y=4800$$

Mblidh 32y me 43y.

$$75y=4800$$

Pjesëto të dyja anët me 75.

$$y=64$$

Zëvendëso y me 64 në 32x-43y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$32x-43\times 64=0$$

Shumëzo -43 herë 64.

$$32x-2752=0$$

Mblidh 2752 në të dyja anët e ekuacionit.

$$32x=2752$$

Pjesëto të dyja anët me 32.

$$x=86$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=86,y=64$$