Zgjidh {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=15$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+15$$

Zëvendëso x me -y+15 në ekuacionin tjetër, 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

Shumëzo 250 herë -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

Mblidh -250y me 80y.

$$-170y+3750=2900$$

Zbrit 3750 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-170y=-850$$

Pjesëto të dyja anët me -170.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=-y+15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-5+15$$

Mblidh 15 me -5.

$$x=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=10,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Për ta bërë x të barabartë me 250x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 250 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

Thjeshto.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

Zbrit 250x+80y=2900 nga 250x+250y=3750 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

Mblidh 250x me -250x. Shprehjet 250x dhe -250x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$250y-80y=3750-2900$$

Mblidh 250y me -80y.

$$170y=3750-2900$$

Mblidh 3750 me -2900.

$$170y=850$$

Pjesëto të dyja anët me 170.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 250x+80y=2900. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$250x+80\times 5=2900$$

Shumëzo 80 herë 5.

$$250x+400=2900$$

Zbrit 400 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$250x=2500$$

Pjesëto të dyja anët me 250.

$$x=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=5$$