Zgjidh {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=7y$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=140$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+140$$

Zëvendëso x me -y+140 në ekuacionin tjetër, x-7y=0.

$$-y+140-7y=0$$

Mblidh -y me -7y.

$$-8y+140=0$$

Zbrit 140 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-8y=-140$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$y=\frac{35}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{35}{2} në x=-y+140. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

Mblidh 140 me -\frac{35}{2}.

$$x=\frac{245}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=7y$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=7y$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Zbrit x-7y=0 nga x+y=140 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+y+7y=140$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y+7y=140$$

Mblidh y me 7y.

$$8y=140$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=\frac{35}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{35}{2} në x-7y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

Shumëzo -7 herë \frac{35}{2}.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

Mblidh \frac{245}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{245}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$