Zgjidh {l}{x+y=13800}{0.2y=x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 13800 } \\ { 0.2 y = x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2300$$

$$y=11500$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$0.2y-x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=13800$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+13800$$

Zëvendëso x me -y+13800 në ekuacionin tjetër, -x+0.2y=0.

$$-\left(-y+13800\right)+0.2y=0$$

Shumëzo -1 herë -y+13800.

$$y-13800+0.2y=0$$

Mblidh y me \frac{y}{5}.

$$1.2y-13800=0$$

Mblidh 13800 në të dyja anët e ekuacionit.

$$1.2y=13800$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 1.2, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=11500$$

Zëvendëso y me 11500 në x=-y+13800. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-11500+13800$$

Mblidh 13800 me -11500.

$$x=2300$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2300,y=11500$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$0.2y-x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{0.2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{0.2-\left(-1\right)}&\frac{1}{0.2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 13800\\\frac{5}{6}\times 13800\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2300\\11500\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2300,y=11500$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$0.2y-x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-y=-13800,-x+0.2y=0$$

Zbrit -x+0.2y=0 nga -x-y=-13800 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x-y-0.2y=-13800$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y-0.2y=-13800$$

Mblidh -y me -\frac{y}{5}.

$$-1.2y=-13800$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -1.2, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=11500$$

Zëvendëso y me 11500 në -x+0.2y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+0.2\times 11500=0$$

Shumëzo 0.2 herë 11500.

$$-x+2300=0$$

Zbrit 2300 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-2300$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=2300$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2300,y=11500$$