\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.
Gjej x, y
x=-3
y=5
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
x+2y=7,4x+3y=3
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
x+2y=7
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
x=-2y+7
Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.
4\left(-2y+7\right)+3y=3
Zëvendëso x me -2y+7 në ekuacionin tjetër, 4x+3y=3.
-8y+28+3y=3
Shumëzo 4 herë -2y+7.
-5y+28=3
Mblidh -8y me 3y.
-5y=-25
Zbrit 28 nga të dyja anët e ekuacionit.
y=5
Pjesëto të dyja anët me -5.
x=-2\times 5+7
Zëvendëso y me 5 në x=-2y+7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=-10+7
Shumëzo -2 herë 5.
x=-3
Mblidh 7 me -10.
x=-3,y=5
Sistemi është zgjidhur tani.
x+2y=7,4x+3y=3
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=-3,y=5
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
x+2y=7,4x+3y=3
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3
Për ta bërë x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.
4x+8y=28,4x+3y=3
Thjeshto.
4x-4x+8y-3y=28-3
Zbrit 4x+3y=3 nga 4x+8y=28 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
8y-3y=28-3
Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
5y=28-3
Mblidh 8y me -3y.
5y=25
Mblidh 28 me -3.
y=5
Pjesëto të dyja anët me 5.
4x+3\times 5=3
Zëvendëso y me 5 në 4x+3y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
4x+15=3
Shumëzo 3 herë 5.
4x=-12
Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.
x=-3
Pjesëto të dyja anët me 4.
x=-3,y=5
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}