Zgjidh {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Gjej x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=1$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+1$$

Zëvendëso x me -2y+1 në ekuacionin tjetër, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Mblidh -2y me -y.

$$-3y+1=-5$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-2y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 2+1$$

Shumëzo -2 herë 2.

$$x=-4+1$$

Mblidh 1 me -4.

$$x=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-3,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-3,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Zbrit x-y=-5 nga x+2y=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y+y=1+5$$

Mblidh 2y me y.

$$3y=1+5$$

Mblidh 1 me 5.

$$3y=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x-y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2=-5$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-3,y=2$$