\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 3 } \\ { 5 x - c y = 1 } \end{array} \right.
Gjej x, y (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=\frac{b+3c}{ac+5b}\text{, }y=-\frac{a-15}{ac+5b}\text{, }&b\neq -\frac{ac}{5}\\x=\frac{3-by}{15}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=15\text{ and }b=-3c\end{matrix}\right.
Gjej x, y
\left\{\begin{matrix}x=\frac{b+3c}{ac+5b}\text{, }y=-\frac{a-15}{ac+5b}\text{, }&b\neq -\frac{ac}{5}\\x=\frac{3-by}{15}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=15\text{ and }b=-3c\end{matrix}\right.
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
ax+by=3
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
ax=\left(-b\right)y+3
Zbrit by nga të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+3\right)
Pjesëto të dyja anët me a.
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}
Shumëzo \frac{1}{a} herë -by+3.
5\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}\right)+\left(-c\right)y=1
Zëvendëso x me \frac{-by+3}{a} në ekuacionin tjetër, 5x+\left(-c\right)y=1.
\left(-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}+\left(-c\right)y=1
Shumëzo 5 herë \frac{-by+3}{a}.
\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}=1
Mblidh -\frac{5by}{a} me -cy.
\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y=\frac{a-15}{a}
Zbrit \frac{15}{a} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=-\frac{a-15}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me -\frac{5b}{a}-c.
x=\left(-\frac{b}{a}\right)\left(-\frac{a-15}{ac+5b}\right)+\frac{3}{a}
Zëvendëso y me -\frac{-15+a}{5b+ac} në x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=\frac{b\left(a-15\right)}{a\left(ac+5b\right)}+\frac{3}{a}
Shumëzo -\frac{b}{a} herë -\frac{-15+a}{5b+ac}.
x=\frac{b+3c}{ac+5b}
Mblidh \frac{3}{a} me \frac{b\left(-15+a\right)}{a\left(5b+ac\right)}.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=-\frac{a-15}{ac+5b}
Sistemi është zgjidhur tani.
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{c}{a\left(-c\right)-b\times 5}&-\frac{b}{a\left(-c\right)-b\times 5}\\-\frac{5}{a\left(-c\right)-b\times 5}&\frac{a}{a\left(-c\right)-b\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}&\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}&-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}\times 3+\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}\times 3-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b+3c}{ac+5b}\\\frac{15-a}{ac+5b}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
5ax+5by=5\times 3,a\times 5x+a\left(-c\right)y=a
Për ta bërë ax të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me a.
5ax+5by=15,5ax+\left(-ac\right)y=a
Thjeshto.
5ax+\left(-5a\right)x+5by+acy=15-a
Zbrit 5ax+\left(-ac\right)y=a nga 5ax+5by=15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
5by+acy=15-a
Mblidh 5ax me -5ax. Shprehjet 5ax dhe -5ax thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
\left(ac+5b\right)y=15-a
Mblidh 5by me acy.
y=\frac{15-a}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me 5b+ac.
5x+\left(-c\right)\times \frac{15-a}{ac+5b}=1
Zëvendëso y me \frac{15-a}{5b+ac} në 5x+\left(-c\right)y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
5x-\frac{c\left(15-a\right)}{ac+5b}=1
Shumëzo -c herë \frac{15-a}{5b+ac}.
5x=\frac{5\left(b+3c\right)}{ac+5b}
Mblidh \frac{c\left(15-a\right)}{5b+ac} në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{b+3c}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me 5.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}
Sistemi është zgjidhur tani.
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
ax+by=3
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
ax=\left(-b\right)y+3
Zbrit by nga të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+3\right)
Pjesëto të dyja anët me a.
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}
Shumëzo \frac{1}{a} herë -by+3.
5\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}\right)+\left(-c\right)y=1
Zëvendëso x me \frac{-by+3}{a} në ekuacionin tjetër, 5x+\left(-c\right)y=1.
\left(-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}+\left(-c\right)y=1
Shumëzo 5 herë \frac{-by+3}{a}.
\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}=1
Mblidh -\frac{5by}{a} me -cy.
\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y=\frac{a-15}{a}
Zbrit \frac{15}{a} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=-\frac{a-15}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me -\frac{5b}{a}-c.
x=\left(-\frac{b}{a}\right)\left(-\frac{a-15}{ac+5b}\right)+\frac{3}{a}
Zëvendëso y me -\frac{-15+a}{5b+ac} në x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=\frac{b\left(a-15\right)}{a\left(ac+5b\right)}+\frac{3}{a}
Shumëzo -\frac{b}{a} herë -\frac{-15+a}{5b+ac}.
x=\frac{b+3c}{ac+5b}
Mblidh \frac{3}{a} me \frac{b\left(-15+a\right)}{a\left(5b+ac\right)}.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=-\frac{a-15}{ac+5b}
Sistemi është zgjidhur tani.
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{c}{a\left(-c\right)-b\times 5}&-\frac{b}{a\left(-c\right)-b\times 5}\\-\frac{5}{a\left(-c\right)-b\times 5}&\frac{a}{a\left(-c\right)-b\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}&\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}&-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}\times 3+\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}\times 3-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b+3c}{ac+5b}\\\frac{15-a}{ac+5b}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
5ax+5by=5\times 3,a\times 5x+a\left(-c\right)y=a
Për ta bërë ax të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me a.
5ax+5by=15,5ax+\left(-ac\right)y=a
Thjeshto.
5ax+\left(-5a\right)x+5by+acy=15-a
Zbrit 5ax+\left(-ac\right)y=a nga 5ax+5by=15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
5by+acy=15-a
Mblidh 5ax me -5ax. Shprehjet 5ax dhe -5ax thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
\left(ac+5b\right)y=15-a
Mblidh 5by me acy.
y=\frac{15-a}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me 5b+ac.
5x+\left(-c\right)\times \frac{15-a}{ac+5b}=1
Zëvendëso y me \frac{15-a}{5b+ac} në 5x+\left(-c\right)y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
5x-\frac{c\left(15-a\right)}{ac+5b}=1
Shumëzo -c herë \frac{15-a}{5b+ac}.
5x=\frac{5\left(b+3c\right)}{ac+5b}
Mblidh \frac{c\left(15-a\right)}{5b+ac} në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{b+3c}{ac+5b}
Pjesëto të dyja anët me 5.
x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}