Zgjidh {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto a në të dyja anët.

$$3b+a=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$a+4b=8$$

Zbrit 4b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$a=-4b+8$$

Zëvendëso a me -4b+8 në ekuacionin tjetër, a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

Mblidh -4b me 3b.

$$-b+8=5$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-b=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$b=3$$

Zëvendëso b me 3 në a=-4b+8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-4\times 3+8$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$a=-12+8$$

Mblidh 8 me -12.

$$a=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-4,b=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto a në të dyja anët.

$$3b+a=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=-4,b=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto a në të dyja anët.

$$3b+a=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Zbrit a+3b=5 nga a+4b=8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

Mblidh a me -a. Shprehjet a dhe -a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4b-3b=8-5$$

Mblidh 4b me -3b.

$$b=8-5$$

Mblidh 8 me -5.

$$b=3$$

Zëvendëso b me 3 në a+3b=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a+3\times 3=5$$

Shumëzo 3 herë 3.

$$a+9=5$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$a=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-4,b=3$$