Zgjidh {l}{a+19=15b}{a+19=1/2(b+19)+85}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 19 = 15 b } \\ { a + 19 = \frac { 1 } { 2 } ( b + 19 ) + 85 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a = \frac{2284}{29} = 78\frac{22}{29} \approx 78.75862069$$

$$b = \frac{189}{29} = 6\frac{15}{29} \approx 6.517241379$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15b nga të dyja anët.

$$a+19-15b=0$$

Zbrit 19 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$a-15b=-19$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me b+19.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

Shto \frac{19}{2} dhe 85 për të marrë \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2}b nga të dyja anët.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

Zbrit 19 nga të dyja anët.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

Zbrit 19 nga \frac{189}{2} për të marrë \frac{151}{2}.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$a-15b=-19$$

Mblidh 15b në të dyja anët e ekuacionit.

$$a=15b-19$$

Zëvendëso a me 15b-19 në ekuacionin tjetër, a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}.

$$15b-19-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Mblidh 15b me -\frac{b}{2}.

$$\frac{29}{2}b-19=\frac{151}{2}$$

Mblidh 19 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{29}{2}b=\frac{189}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{29}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=\frac{189}{29}$$

Zëvendëso b me \frac{189}{29} në a=15b-19. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=15\times \frac{189}{29}-19$$

Shumëzo 15 herë \frac{189}{29}.

$$a=\frac{2835}{29}-19$$

Mblidh -19 me \frac{2835}{29}.

$$a=\frac{2284}{29}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15b nga të dyja anët.

$$a+19-15b=0$$

Zbrit 19 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$a-15b=-19$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me b+19.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

Shto \frac{19}{2} dhe 85 për të marrë \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2}b nga të dyja anët.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

Zbrit 19 nga të dyja anët.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

Zbrit 19 nga \frac{189}{2} për të marrë \frac{151}{2}.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{29}&\frac{30}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{29}\left(-19\right)+\frac{30}{29}\times \frac{151}{2}\\-\frac{2}{29}\left(-19\right)+\frac{2}{29}\times \frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2284}{29}\\\frac{189}{29}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15b nga të dyja anët.

$$a+19-15b=0$$

Zbrit 19 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$a-15b=-19$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me b+19.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

Shto \frac{19}{2} dhe 85 për të marrë \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2}b nga të dyja anët.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

Zbrit 19 nga të dyja anët.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

Zbrit 19 nga \frac{189}{2} për të marrë \frac{151}{2}.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

Zbrit a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2} nga a-15b=-19 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$a-a-15b+\frac{1}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

Mblidh a me -a. Shprehjet a dhe -a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-15b+\frac{1}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

Mblidh -15b me \frac{b}{2}.

$$-\frac{29}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

Mblidh -19 me -\frac{151}{2}.

$$-\frac{29}{2}b=-\frac{189}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{29}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=\frac{189}{29}$$

Zëvendëso b me \frac{189}{29} në a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a-\frac{1}{2}\times \frac{189}{29}=\frac{151}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë \frac{189}{29} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a-\frac{189}{58}=\frac{151}{2}$$

Mblidh \frac{189}{58} në të dyja anët e ekuacionit.

$$a=\frac{2284}{29}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$