Zgjidh {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$78x+40y=1280$$

Zbrit 40y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$78x=-40y+1280$$

Pjesëto të dyja anët me 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Shumëzo \frac{1}{78} herë -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Zëvendëso x me \frac{-20y+640}{39} në ekuacionin tjetër, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Shumëzo 120 herë \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Mblidh -\frac{800y}{13} me 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Zbrit \frac{25600}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{240}{13}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=45$$

Zëvendëso y me 45 në x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Shumëzo -\frac{20}{39} herë 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Mblidh \frac{640}{39} me -\frac{300}{13} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Për ta bërë 78x të barabartë me 120x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 120 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Thjeshto.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Zbrit 9360x+6240y=218400 nga 9360x+4800y=153600 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Mblidh 9360x me -9360x. Shprehjet 9360x dhe -9360x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Mblidh 4800y me -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Mblidh 153600 me -218400.

$$-1440y=-64800$$

Pjesëto të dyja anët me -1440.

$$y=45$$

Zëvendëso y me 45 në 120x+80y=2800. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$120x+80\times 45=2800$$

Shumëzo 80 herë 45.

$$120x+3600=2800$$

Zbrit 3600 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$120x=-800$$

Pjesëto të dyja anët me 120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$