Zgjidh {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Shto -6 dhe 5 për të marrë -1.

$$2x-1=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=-1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=-1+1$$

Shto -1 dhe 1 për të marrë 0.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$7x+18y=43$$

Zbrit 18y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=-18y+43$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{-18y+43}{7} në ekuacionin tjetër, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Shumëzo 2 herë \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Mblidh -\frac{36y}{7} me -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Zbrit \frac{86}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{43}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Shumëzo -\frac{18}{7} herë 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Mblidh \frac{43}{7} me -\frac{36}{7} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Shto -6 dhe 5 për të marrë -1.

$$2x-1=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=-1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=-1+1$$

Shto -1 dhe 1 për të marrë 0.

$$2x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Shto -6 dhe 5 për të marrë -1.

$$2x-1=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=-1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=-1+1$$

Shto -1 dhe 1 për të marrë 0.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Për ta bërë 7x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Thjeshto.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Zbrit 14x-7y=0 nga 14x+36y=86 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Mblidh 14x me -14x. Shprehjet 14x dhe -14x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$36y+7y=86$$

Mblidh 36y me 7y.

$$43y=86$$

Pjesëto të dyja anët me 43.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në 2x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-2=0$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=2$$