Zgjidh {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x-2y=4$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=2y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{2+y}{3} në ekuacionin tjetër, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

Shumëzo -5 herë \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

Mblidh -\frac{5y}{3} me y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

Mblidh \frac{10}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{19}{2} në x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -\frac{19}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

Mblidh \frac{2}{3} me -\frac{19}{6} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Për ta bërë 6x të barabartë me -5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

Thjeshto.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

Zbrit -30x+6y=18 nga -30x+10y=-20 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

Mblidh -30x me 30x. Shprehjet -30x dhe 30x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10y-6y=-20-18$$

Mblidh 10y me -6y.

$$4y=-20-18$$

Mblidh -20 me -18.

$$4y=-38$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{19}{2} në -5x+y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

Mblidh \frac{19}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$