Zgjidh {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x+15y=360$$

Zbrit 15y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-15y+360$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{2}+60 në ekuacionin tjetër, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Shumëzo 8 herë -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Mblidh -20y me 10y.

$$-10y+480=440$$

Zbrit 480 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-10y=-40$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=-\frac{5}{2}y+60. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Shumëzo -\frac{5}{2} herë 4.

$$x=-10+60$$

Mblidh 60 me -10.

$$x=50$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=50,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=50,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Për ta bërë 6x të barabartë me 8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Thjeshto.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Zbrit 48x+60y=2640 nga 48x+120y=2880 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Mblidh 48x me -48x. Shprehjet 48x dhe -48x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$120y-60y=2880-2640$$

Mblidh 120y me -60y.

$$60y=2880-2640$$

Mblidh 2880 me -2640.

$$60y=240$$

Pjesëto të dyja anët me 60.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në 8x+10y=440. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$8x+10\times 4=440$$

Shumëzo 10 herë 4.

$$8x+40=440$$

Zbrit 40 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=400$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=50$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=50,y=4$$