Zgjidh {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 19y nga të dyja anët.

$$5x-4y-19y=0$$

Kombino -4y dhe -19y për të marrë -23y.

$$5x-23y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-23y=0$$

Mblidh 23y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=23y$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Zëvendëso x me \frac{23y}{5} në ekuacionin tjetër, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Shumëzo 5 herë \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Mblidh 23y me 2y.

$$25y=71$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Zëvendëso y me \frac{71}{25} në x=\frac{23}{5}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Shumëzo \frac{23}{5} herë \frac{71}{25} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 19y nga të dyja anët.

$$5x-4y-19y=0$$

Kombino -4y dhe -19y për të marrë -23y.

$$5x-23y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 19y nga të dyja anët.

$$5x-4y-19y=0$$

Kombino -4y dhe -19y për të marrë -23y.

$$5x-23y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Zbrit 5x+2y=71 nga 5x-23y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-23y-2y=-71$$

Mblidh -23y me -2y.

$$-25y=-71$$

Pjesëto të dyja anët me -25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Zëvendëso y me \frac{71}{25} në 5x+2y=71. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Shumëzo 2 herë \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Zbrit \frac{142}{25} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$