\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.
Gjej x, y
x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273
y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
5x-4y=11,3x+2y=7
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
5x-4y=11
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
5x=4y+11
Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)
Pjesëto të dyja anët me 5.
x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}
Shumëzo \frac{1}{5} herë 4y+11.
3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7
Zëvendëso x me \frac{4y+11}{5} në ekuacionin tjetër, 3x+2y=7.
\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7
Shumëzo 3 herë \frac{4y+11}{5}.
\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7
Mblidh \frac{12y}{5} me 2y.
\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}
Zbrit \frac{33}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=\frac{1}{11}
Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{22}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.
x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}
Zëvendëso y me \frac{1}{11} në x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}
Shumëzo \frac{4}{5} herë \frac{1}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=\frac{25}{11}
Mblidh \frac{11}{5} me \frac{4}{55} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
5x-4y=11,3x+2y=7
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
5x-4y=11,3x+2y=7
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7
Për ta bërë 5x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.
15x-12y=33,15x+10y=35
Thjeshto.
15x-15x-12y-10y=33-35
Zbrit 15x+10y=35 nga 15x-12y=33 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
-12y-10y=33-35
Mblidh 15x me -15x. Shprehjet 15x dhe -15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
-22y=33-35
Mblidh -12y me -10y.
-22y=-2
Mblidh 33 me -35.
y=\frac{1}{11}
Pjesëto të dyja anët me -22.
3x+2\times \frac{1}{11}=7
Zëvendëso y me \frac{1}{11} në 3x+2y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
3x+\frac{2}{11}=7
Shumëzo 2 herë \frac{1}{11}.
3x=\frac{75}{11}
Zbrit \frac{2}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{25}{11}
Pjesëto të dyja anët me 3.
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}